この記事はGoogle検索で「クリストッフェル記号」の計算方法を探してる人向けに書いています。
この記事は某国立大学の物理学の一般相対性理論の授業のレポート録です。
*この記事では「クリストッフェル記号」の計算方法が具体的にわかるように書いています。
「クリストッフェル記号」とは
クリストッフェル記号とはアインシュタインの一般相対性理論で使われる粒子の運動方程式に出てくる記号のことです。ここでは詳しい解説は避けてレポート問題の紹介と解法、その中でクリストッフェル記号の計算方法を示します。
*参考サイト「wikipedia」
問題文
計量が次の形で与えられる3次元時空を考えるここでは定数、また
問.
クリストッフェル記号
のゼロとならない成分がであり
となることを示せ
クリストッフェル記号の計算方法
クリストッフェル記号についている添え字は任意の変数です。これに数字を代入して右辺のの値を決めます。例えばここでは3次元時空を考えているので、代入する数字はの3つ。そしてにそれぞれを代入すると
となります。
クリストッフェル記号ではまず左辺の添え字に何を代入するか決めます。そして右辺の計量を求め、その計量の逆行列を求めます。
左辺の添え字に代入する数、計量、計量の逆行列が求まったら、の値を求めます。
の値の決め方ですが、まずに代入する数字の値の範囲を定めます。例えばここでは計量はの値までしかとらないので、必然的にの値もの範囲に限定されます。
そして代入する値の範囲がわかったら、その範囲での和をとります
式で表すと
右辺のについてまで和をとり、全ての項を計算していきます。
たいていの問題はほとんどの項がゼロになるので、ゼロにならない項を的確に見つけてスムーズに計算するのがコツです。
解説
まず、3次元時空なので計量の行列の各成分を次のようにおきます。そして式
に関しては計量はまでの値しかとらないため、はの値をとります。
よって式
をまで和をとり計算します。
これは式
と同値なので恒等式より、
の各項を比較すると
になり、計量は
となります。次に計量の逆行列を求めます。
計算は対角行列なので、逆行列は真ん中の成分の逆数を求めればいい。というわけで計量の逆行列は
となります。
ここからクリストッフェル記号の計算に入ります。
まずクリストッフェル記号の左辺の変数であるに代入する数値を決めます。
ここでは
を求めたいので、すなわち、を代入します。
するとクリストッフェル記号は
となります。ここで「クリストッフェル記号の解法」で紹介したように、右辺のについて和をとります。
がのとき、計量および計量の逆行列はとなるので、の値のみ考慮すると、
よって、クリストッフェル記号は
となることが証明されました。